随着科学技术的进步及航天航空领域的飞速发展，对光整加工技术提出了更高的要求。磁粒研磨作为一种非传统的光整加工技术，以磁性磨料为加工介质，可实现对零件的平面、复杂曲面、复杂型腔内表面的光整加工^[1-2]。磁粒研磨光整加工属于柔性加工，具有误差补偿的特点，无需专用的精密磨削设备，就可与其他智能设备组合使用，从而实现磁粒研磨光整加工的自动化^[3-5]。目前国内外制备磁性磨粒的方法有很多种，包括机械混合法、粘结法、烧结法、化学复合电镀法、雾化快凝法等^[6-11]。磁性磨粒作为磁粒研磨光整加工中的核心部分，其制备工艺的核心是提高研磨相和铁磁相的结合力，因此优化其制备工艺参数来提高磨粒性能是十分必要的。

随着计算机仿真技术和数值分析技术的不断发展，加上起源于分子动力学的离散元法^[12]，可研究粉体工程中颗粒的力学形成机理及模拟大量颗粒的物理相互作用。离散元法适合于大位移和非线性问题的分析，尤其是在研究非连续介质力学行为时具备显著优势。王涛等^[13]对离散元法进行了深入的研究和探讨。YAN等^[14]为了建立土壤颗粒的离散元模型，对其进行建模和参数标定并通过对比模拟与试验，验证了标定结果的准确性。焦玉勇等^[15]基于FISH语言开发了颗粒流的多边形碎石生成模块，通过室内试验校核颗粒流模型的微观参数，建立了土石混合体双轴试验模型。刘新荣等^[16]提出了一种新的微观建模方法，以提高岩土体模型的微观建模精度与生成效率。近年来，离散元法被逐渐应用于颗粒粉末加工成形研究上，通过微观模拟的方法来分析颗粒的微观作用力变化，进而达到对粉末压制致密化过程的了解与认识^[17]。

在磁性磨粒制备过程中，压制参数直接影响磨粒素坯的成型质量，优质的磨粒素坯有利于磨粒烧结，因而压制参数是烧结法制备磁性磨粒的关键工艺参数。通过大量试验寻找传统压制方式的最佳参数，存在周期长、单一条件难控制、耗时长等问题。因此，基于离散元法，以烧结法制备的铁基氧化铝磁性磨粒为研究对象，模拟磁性磨粒压制过程中的力学行为，探究磨粒压制过程中各工艺参数对其成型坯体质量的影响。

1.   磨粒压制力离散元模型及分析

铁基氧化铝磁性磨粒坯体是由基本粒径为178 μm的Fe粉和60 μm的α相Al₂O₃粉末在质量比为2∶1时均匀混合而成，胚体总质量为300 g，计算的真实密度为5.549 g/cm³。将均匀混合后的粉体加入适量黏结剂并放入直径为50 mm、高度为150 mm的钢模中压制成型。对模具施加压制力，粉体的体积会随着压制力的增大逐渐变小，坯体也变得更加密实。

坯体压制时，利用液压机给上冲头或上下冲头施加一定的压制力，待液压机压制力达到目标数值时保压10 s，观察冲头无明显位移时，可认为坯体和冲头的作用力与目标力等大，坯体压制完成。压制的坯体放入真空干燥箱，在100 ℃下干燥10 h，后放入真空烧结炉中进行真空烧结，烧结温度低于铁磁相熔点，一般选择1200℃，以便研磨相颗粒嵌入铁磁相中。烧结完成后的坯体通过人工与破碎机结合的方式完成破碎，最后利用筛分机将有磁性的磨粒筛分成200目（磨粒基本粒径为75 μm）、100目（磨粒基本粒径为150 μm）、80目（磨粒基本粒径为180 μm）等多种常用磁性磨粒备用。

压制阶段的压制力、压制方式、摩擦系数、模具高径比等直接影响磁性磨粒坯体成型的质量，且密实度越高的坯体能够为烧结提供更充沛的原子联结力，促进烧结有效进行。因此，为了得到密实度更高的磨粒坯体，采用离散元法对其压制过程中的各工艺参数进行模拟仿真，探索各工艺参数对坯体成型质量的影响。

1.1   离散元法

离散元法最初由CUNDALL^[18]于1971年首次提出，最早在岩土力学问题领域中得到应用，并逐渐出现在颗粒运动和粉末工程分析中。由于散装物料表现出复杂的运动行为和力学特性，难以直接使用现有理论进行解释，而进行试验研究则成本高、周期长，因此离散元法的应用得到了推广^[19-20]。

1.2   颗粒的离散元单元

离散元的单元主要分为颗粒元和块体元2大类，如图1所示。颗粒元主要采用球体元，也有少量采用椭圆球体元和椭圆球形元。块体元以四面体元和六面体元为主，二维时可采用任意多边形元。因为本文研究的对象为颗粒，故采用球体元。

图  1  离散元单元

Figure  1.  Discrete element unit

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1.3   颗粒运动学计算

颗粒的运动状态由其所受的合力和合力矩决定，表现为平动和转动2种运动形式。颗粒平动通过位置坐标$ {x}_{i} $、$ \mathrm{速}\mathrm{度}\dot{{x}_{i}} $、加速度$ \ddot{{x}_{i}} $描述；颗粒转动通过角速度$ {w}_{i} $、角加速度$ \dot{{w}_{i}} $描述。颗粒速度方程由2个矢量方程描述：合力和平动之间的线性关系方程，合力矩和转动之间的关系方程。

颗粒在x方向的平动矢量方程为：

式中：$\overrightarrow F$表示颗粒所受合力矢量，m是颗粒的质量，$\overrightarrow g$是重力加速度矢量。

颗粒转动方程的矢量形式为：

式中：$\overrightarrow {{M_i}} $表示作用在颗粒上的合力矩矢量，$\overrightarrow {{H_i}} $表示颗粒的角动量矢量。

若局部坐标系在颗粒的惯性主轴上，那么可得到颗粒的欧拉运动方程：

式中：$ {I}_{1} $、$ {I}_{2} $、$ {I}_{3} $为颗粒主惯性矩主轴分量，$ \dot{{w}_{1}} $、$ \dot{{w}_{2}} $、$ \dot{{w}_{3}} $为角加速度主轴分量，$ {M}_{1} $、$ {M}_{2} $、$ {M}_{3} $为合力矩主轴分量。

对于一个半径为R的球形颗粒来说，式（3）中的3个主惯性矩主轴分量都相等，则式（3）可进一步化简为：

其中：β是常量，I表示主惯性矩。

2.   磨粒的模拟结果及分析

2.1   磨粒模型的建立和参数确定

采用二维离散元软件$ {\mathrm{P}\mathrm{F}\mathrm{C}}^{2\mathrm{D}} $（particle flow code，PFC）为模拟工具，以铁基氧化铝磁性磨粒的单向模压为研究对象。因压制模具为圆柱体，具有轴对称性，所以选取其轴向截面建立缩尺模型，相似比为8∶1。压制的缩尺模型尺寸为6.25 mm × 18.75 mm，Fe和α相Al₂O₃磨料颗粒的半径为30～90 µm（由于模拟软件限制，无法实现完全相应的尺寸），其粒径大小遵循正态分布。磨料颗粒与颗粒之间、颗粒与侧壁之间设置摩擦系数，模拟磨粒实际的压制过程。设定磨料颗粒的阻尼系数，用来消耗动能，使模型达到最后的平衡状态。

图2为干压成型的离散元模型。如图2所示：上下墙代表上下2个冲头，磨粒颗粒随机分布在侧壁和2个冲头之间，然后采用落雨法使颗粒沉降达到平衡状态。通过改变压制力、压制方式、颗粒与模具的摩擦系数、模具高径比（高度和直径的比值）等工艺参数，探讨不同工艺参数对成型磨粒坯体质量的影响^[21]，进而实现对磁性磨粒干压成型参数的优化。

图  2  干压成型的离散元模型

Figure  2.  Discrete element model of dry press forming

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压制结束后，需要对仿真模型的位移、孔隙率等重要参数进行检测，故在成型坯体中建立嵌套分布的测量圆，如图3所示。图3中：在x、y方向分别设置6个测量圆，共计36个测量圆，可以准确反馈坯体各部分的重要参数。

图  3  测量圆分布示意图

Figure  3.  Schematic diagram of measurement circle distribution

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已知Fe粉的弹性模量E_Fe为8.07 × 10⁴ MPa，泊松比$ \mu $_Fe为0.29，Al₂O₃粉的弹性模量${E_{{\rm{A}}{{\rm{l}}_{\rm{2}}}{{\rm{O}}_{\rm{3}}}}} $为3.70 × 10⁵ MPa，泊松比$ {\mu _{{\rm{A}}{{\rm{l}}_{\rm{2}}}{{\rm{O}}_{\rm{3}}}}}$为0.26，则根据经验公式^[22]：

可分别求出铁粉的体积模量K_Fe、剪切模量G_Fe和氧化铝粉末的体积模量${K_{{\rm{A}}{{\rm{l}}_{\rm{2}}}{{\rm{O}}_{\rm{3}}}}} $、剪切模量${G_{{\rm{A}}{{\rm{l}}_{\rm{2}}}{{\rm{O}}_{\rm{3}}}}} $。

王继辉等^[23]基于Eshelby等效原理和Mori-Tanaka平均理论，导出多相复合材料的等效体积模量K、剪切模量G的预测公式为：

其中：$ {h_0} = \dfrac{{3{K_0}}}{{3{K_0} + 4{G_0}}} $，$ {h_1} = \dfrac{6}{5}\dfrac{{{K_0} + 2{G_0}}}{{3{K_0} + 4{G_0}}} $，$a = \sum {\dfrac{{{V_i}({K_i} - {K_0})}}{{{h_0}({K_i} - {K_0}) + {G_0}}}} $，V_i为i相的体积分数，K₀代表铁磁相的体积模量，G₀代表铁磁相的剪切模量，K_i为第i相的体积模量。

由K_Fe、$K_{{\rm{Al}}_2{\rm{O}}_3} $得到 $ a $、$ {h}_{0} $、$ {h}_{1} $的值后，根据式(7)、式（8）可以计算出磨粒的等效体积模量、剪切模量，再代入式(5)、式（6）中得到磨粒的弹性模量E和泊松比$ \mu $。

2.2   不同工艺参数对磁性磨粒坯体成型质量的影响

研究改变压制力、压制方式、摩擦系数、模具高径比等工艺参数，对磁性磨粒坯体成型质量的影响，从而获得磁性磨粒干压成型的优化参数。

2.2.1   不同压制力的影响

设定在25，50，75，100，125和150 MPa的6组不同压制力下进行单向压制模拟，磨料颗粒与颗粒间的摩擦系数为0.5，磨料颗粒与模具侧壁摩擦系数为0.2，模具高径比为3∶1（模具截面尺寸为6.25 mm × 18.75 mm）。利用测量圆工具对磨粒成坯质量进行检测，总结压制力大小对磨粒坯体成型质量的影响规律。

图4是6组不同压制力下的磁性磨料位移变化情况。如图4所示：首先，压制力施加在磁性磨粒坯体上表面，靠近上表面的磁性磨粒首先接触到力，所以靠近上冲头的磁性磨粒产生较大的位移。由于力在向下传递的过程中磨粒间发生摩擦，其向下运动的过程中会消耗能量，故随着与上表面距离的增加，磨粒的位移呈现逐渐变小的趋势。其次，在同一高度的磁性磨粒，靠近模具中心的位移较大，靠近侧壁的位移相对较小。这是由于磨粒坯体在向下压缩的过程中，靠近中心的磨粒只受到颗粒间的摩擦力作用，而靠近侧壁的磨粒除受颗粒间的摩擦力作用外，还受到侧壁对其的摩擦力，阻碍其向下运动。同时，对图4中不同压制力下的位移云图进行观察，发现随着压制力的增大，磨粒的最大位移随之变大，最大位移量从1.638 6 mm增大到5.269 1 mm，且磨粒坯体高度变小，体积变小，故磨粒坯体逐渐变得更加致密紧实。

图  4  不同压制力下磁性磨粒的位移变化云图

Figure  4.  Displacement variations nephograms of magnetic abrasive particles under different pressing forces

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图5更加直观地展示了磨粒最大位移随压制力的变化。图5中的压力增大，最大位移也逐渐变大，最大位移从1.638 6 mm增大到5.269 1 mm；且随压力继续增大，最大位移增长变缓，在压制力为150 MPa时，其位移增长量仅为初始的五分之一 。

图  5  最大位移随压制力的变化

Figure  5.  Variation of maximum displacement with pressing force

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图6为孔隙率随压制力的变化。孔隙率定义为磨粒坯体中的孔、洞面积与其所在截面的面积之比。孔隙率越小，说明颗粒之间的接触面积越大，坯体密实度越好。如图6所示：坯体的孔隙率随压制力的不断增大而减小，且其单位变化率也不断减小。这是由于颗粒在重力作用下沉降达到平衡状态，颗粒间搭建形成 “拱桥”状的大孔隙。压制初期，磨料颗粒受到外力作用，以滚动、滑动等运动形式而进入颗粒间的孔隙中，坯体内部孔隙率迅速下降。当压制力逐渐增大时，由于此时颗粒间的大孔隙已基本消失，颗粒与颗粒之间发生接触，产生较大的压制阻力，孔隙率减小是基于颗粒与颗粒间互相嵌入咬合后产生的微量位移变化而引起的。

图  6  孔隙率随压制力的变化

Figure  6.  Change of porosity with pressing force

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为验证上述仿真结果的正确性，取质量为300 g的均匀混合粉末，在25，50，75，100，125和150 MPa 的6组压制力和图4相同的其他条件下进行单向压制试验，测量坯体的高度差值（通过模具内壁高度标定）并将其作为最大位移，再根据压制成型后坯体的体积与质量计算坯体密度。图7为不同压制力下的试验结果。

图  7  不同压制力下的试验结果

Figure  7.  Experimental results under different pressing forces

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从图7可以看出：图7a的实验结果与图5的模拟结果变化规律相似，最大位移的变化趋势都是随压制力的增大而增大，且图7b中压制的坯体密度也逐渐增大。因此，为了得到质量较好的磨粒坯体，宜选择较大的压制力。但在图7c中压制力增加到150 MPa时，磨粒坯体出现明显的横向裂纹。这是由于坯体在脱模时受到较大侧压力和横向应力而产生的裂纹，破坏了坯体的外貌，影响其后期的烧结。所以综合考虑，确定压制力的最佳范围为75～125 MPa。

2.2.2   压制方式的影响

设定模拟时的压制力为75 MPa，磨料颗粒与颗粒间的摩擦系数为0.5、磨料颗粒与模具侧壁摩擦系数为0.2，模具高径比为3∶1。探讨单独向下压制和上下同时压制2种方式下的磁性磨粒成型过程及磨粒坯体成型质量。图8为不同压制方式下的磁性磨粒位移变化。

图  8  不同压制方式下的磁性磨粒位移变化

Figure  8.  Displacement changes of magnetic abrasive particles under different pressing methods

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如图8所示：在单向压制过程中，上冲头施加压制力在粉体上，靠近上冲头的磨料颗粒发生较大位移。且随着压制高度递减，位移也逐渐递减，最小位移出现在压坯底端；在双向压制过程中，上下冲头同时施加压制力在粉体上，接近上下冲头的颗粒均发生较大的位移，位移量呈上下对称分布，最小位移出现在坯体中间位置。

坯体成型后的内部应力分布是评价成坯质量的关键因素，对不同压制方式下的坯体内磨料颗粒所受的轴向应力进行分析，结果如图9所示。

图  9  不同压制方式下的磨粒坯体轴向应力分布

Figure  9.  Axial stress distribution of abrasive green body under different pressing methods

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如图9所示：在单向压制过程中，坯体内单颗颗粒受到的轴向应力出现坯体上端部分较大、下端部分较小的现象。这是因为上冲头在施加压制力向下运动的过程中，摩擦力会阻碍压制力的传递，随着上冲头在向下运动过程中不断消耗能量，传递到坯体的压制力逐渐减小，产生的应力也逐渐减小；而在双向压制过程中，坯体内颗粒受到的轴向应力上、下端部分较大，中间位置较小。这是因为在双向压制过程中，上下冲头同时向坯体施加压力，上下端部颗粒受到的压制力是相等的，随着上下冲头向坯体中间运动，力传递受到摩擦力的阻碍逐渐变小，使中间位置的应力相应减小。

压制力在传递过程中，会由于克服摩擦力而产生损耗，从而使坯体内部的密度分布不均匀。在坯体轴向由下到上（坯体接近下冲头的为下，接近上冲头的为上）取均匀分布的3个测量圆（编号分别为1～3），其在不同压制方式下的坯体孔隙率分布结果如图10所示。

图  10  不同压制方式下的坯体孔隙率分布

Figure  10.  Porosity distribution in blank under different pressing methods

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如图10所示：在单向压制时，坯体孔隙率随高度增加变化的梯度较大，且其最大、最小值出现在坯体上下端部；而在双向压制时，坯体孔隙率在高度方向呈对称分布，孔隙率最大值出现在坯体中部位置。故实际应用时，选择双向压制方式最佳。

2.2.3   模具高径比的影响

取压制力为75 MPa，单向压制方式，磨料颗粒与颗粒间的摩擦系数为0.5，磨料颗粒与模具侧壁的摩擦系数为0.2。通过改变模具高径比，对比不同高径比下坯体成型质量，探索高径比对坯体成型质量的影响规律。为了精准测量坯体成型后的质量，以坯体截面的中线为中心，由下冲头向上冲头方向均匀分布6个测量圆（测量圆编号分别为4～9），其成型时坯体的4个高径比分别为7∶10、1∶1、6∶5、5∶3，测量4个不同模具高径比下坯体的6个测量圆的孔隙率和轴向应力。图11、图12分别为不同高径比下模具成型坯体的孔隙率及轴向应力。

图  11  不同高径比下模具成型坯体的孔隙率

Figure  11.  Porosity of mould-formed blanks at different height to diameter ratios

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图  12  不同高径比下模具成型坯体的轴向应力

Figure  12.  Axial stress of mould-formed blanks at different height to diameter ratios

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如图11所示：高径比越大，坯体的孔隙率相对较大；随着高径比增大，坯体的孔隙率的变化梯度较大。

如图12所示：高径比越大，坯体的轴向应力相对较小；随着高径比增大，坯体的轴向应力的变化梯度较大。

综上，在压制力传递过程中，磨料颗粒与颗粒之间的摩擦力、侧壁对磨料颗粒的摩擦力都会阻碍压制力的传递。当高径比较大时，压制力受到的阻碍就越大，克服摩擦力消耗的能量也相对增大。因此，用高径比较大的模具压制成型时，为了得到较低的孔隙率可以适当增大压制力，为了获得力学性能更均匀的坯体可以改变压制方式。

2.2.4   摩擦系数的影响

取压制力为75 MPa，单向压制方式， 磨料颗粒与颗粒间的摩擦系数为0.5，模具高径比为3:1，改变模具侧壁与磨料颗粒之间的摩擦系数，模拟其对磨粒坯体致密度的影响。图13为侧壁摩擦系数对坯体孔隙率的影响。

图  13  侧壁摩擦系数对坯体孔隙率的影响

Figure  13.  Effect of sidewall friction coefficient on porosity of blank

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如图13所示：在相同压制条件下，侧壁摩擦系数越大，坯体孔隙率越高。原因是在压制力传递过程中，侧壁摩擦力会阻碍压制力的有效传递，影响成型坯体的致密度，尤其侧壁会对边界粒子产生较大阻碍，影响坯体密度的均匀性。

取压制力为75 MPa，单向压制方式，磨粒颗粒与模具侧壁的摩擦系数为0.2，模具高径比为3:1，改变磨料颗粒间摩擦系数，模拟其对磨粒坯体致密度的影响，结果如图14所示。

图  14  颗粒间摩擦系数对坯体孔隙率的影响

Figure  14.  Effect of friction coefficient between particles on porosity of blank

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如图14所示：在相同压制条件下，颗粒间摩擦系数越小，坯体孔隙率越小。这是因为在压制力传递过程中，磨料颗粒之间的摩擦系数越小，颗粒越容易产生相对运动，越容易填补细小孔隙，提高材料的密实度。

综合起来，摩擦系数越大坯体整体孔隙率都越大，且坯体的均匀性越差。由于气体的导热系数远远小于固体材料的，坯体孔隙率大，在后续烧结过程中，传热效率会相对降低，容易出现坯体烧结不完全、烧结时间长、烧结成本高等问题。坯体均匀性差，会使单个素坯烧结不均匀、成品率下降、部分磨粒研磨性能降低等。因此，在磨粒坯体干压过程中，可以在颗粒混合阶段加入适量润滑剂，降低磨料颗粒间及磨料颗粒与模具侧壁间的摩擦系数，提高磨粒成坯的质量。

3.   结论

建立磁性磨料干压成型的离散元仿真模型，模拟压制力、压制方式、模具高径比、摩擦系数等参数对磨粒坯体成型质量的影响，得出如下结论：

（1）压制力越大，磁性磨粒位移越大，坯体孔隙率越小；压制力过大，坯体外表面产生裂痕，影响坯体表面形貌的完整性。所以压制力选择75～125 MPa为宜。

（2）双向压制得到的坯体密度更均匀、力学性能更好。

（3）模具的高径比越大，坯体的孔隙率相对较大，坯体的轴向应力相对较小。

（4）磨料颗粒间摩擦系数及侧壁与磨料颗粒间的摩擦系数越小，坯体孔隙率越小，坯体致密度越好，均匀性也越好。

（5）磁性磨粒胚体压制时，宜选用75～125 MPa的压制力，双向压制方式，大高径比的模具，且在磨料颗粒混合阶段加入适量润滑剂，减小磨料颗粒间及磨料颗粒与模具侧壁间的摩擦系数，提高磨粒成坯的质量。